Question

如下圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個底寬為2 m的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長度為a m，高度為b m，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a，b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60 m²，問當(dāng)a，b各為多少時，沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最��？(A、B孔的面積忽略不計)

Answer 1

答案：
解析：

解法一：設(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y，由題意 　　y＝(k＞0)，其中k為比例系數(shù)． 　　又據(jù)題意設(shè)2×2b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)， 　　∴b＝(由a＞0，b＞0，可得a＜30)． 　　∴y＝＝． 　　令t＝a＋2，則a＝t－2， 　　從而 　�。�≤34－＝18， 　　∴y＝≥． 　　當(dāng)且僅當(dāng)t＝64t，即t＝8， 　　∴a＝6時取“＝”號． 　　由a＝6，得b＝3． 　　綜上所述，當(dāng)a＝6 m，b＝3 m時，經(jīng)沉淀后流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最�。� 　　解法二：設(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y，依題意y＝，其中k為比例系數(shù)，k＞0，要求y的最小值，必須求解ab的最大值． 　　題設(shè)4b＋2ab＋2a＝60，即ab＋2b＋a＝30(a＞0，b＞0)， 　　∵a＋2b≥(當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時取“＝”號)， 　　∴ab＋≤30，可解得0＜ab≤18． 　　由a＝2b，及ab＋a＋2b＝30，可得a＝6，b＝3． 　　即a＝6，b＝3時，ab取最大值，從而y值最小． 　　思路分析：題意中的“雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)”可按“雜質(zhì)的含量”理解，設(shè)為y，由題意y與ab成反比，又設(shè)比例系數(shù)為k，則y＝．又由于受箱體材料多少的限制，a，b之間應(yīng)有一定的關(guān)系式，即2×(2b)＋2ab＋2a＝60，因此該題的數(shù)學(xué)模型是：已知ab＋a＋2b＝30，a＞0，b＞0，當(dāng)y＝最小時，求a，b的值．

提示：

利用不等式解決實際應(yīng)用問題，首先要仔細(xì)閱讀題目，弄清要解決的實際問題，確定是求什么量的最值；其次，分析題目中給出的條件，建立y的函數(shù)表達式y(tǒng)＝f(x)(x－般為題目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有關(guān)知識解題．求解過程中要注意實際問題對變量x的范圍制約． 　　由于受算術(shù)平均與幾何平均定理求最值的約束條件的限制，在求最值時常常需要對解析式進行合理的變形(如解法一)．對于一些分式結(jié)構(gòu)的函數(shù)，當(dāng)分子中變量的次數(shù)不小于分母中變量的次數(shù)時，通常采用分離變量(或常數(shù))的方法，拼湊出類似函數(shù)y＝x＋a[]x的結(jié)構(gòu)，然后用基本不等式(符合條件)或單調(diào)性求最值．這種變形的技巧經(jīng)過適當(dāng)?shù)膹娀��?xùn)練，是可以較容易掌握的．