Question

3．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E₁、F₁分別是A₁B₁、C₁D₁的四等分點，求BE₁與DF₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出BE₁與DF₁所成角的余弦值．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為4，
則B（4，4，0），E₁（4，3，4），D（0，0，0），
F₁（0，1，4），
$\overrightarrow{B{E}_{1}}$=（0，-1，4），$\overrightarrow{D{F}_{1}}$=（0，1，4），
設(shè)BE₁與DF₁所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{B{E}_{1}}•\overrightarrow{D{F}_{1}}|}{|\overrightarrow{B{E}_{1}}|•|\overrightarrow{D{F}_{1}}|}$=$\frac{15}{\sqrt{17}•\sqrt{17}}$=$\frac{15}{17}$．
∴BE₁與DF₁所成角的余弦值為$\frac{15}{17}$．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．