Question

(本題滿分15分)如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，，分別是的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若為上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值．

Answer 1

滿分15分。

（Ⅰ）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形．

因?yàn)?img width=16 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/298/438298.gif" >為的中點(diǎn)，所以．

又，因此．

因?yàn)?img width=39 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/303/438303.gif" >平面，平面，所以．

而平面，平面且，

所以平面．又平面，

所以．　…………………………………7分

（Ⅱ）解：設(shè)，為上任意一點(diǎn)，連接．

由（Ⅰ）知平面，

則為與平面所成的角．

在中，，

所以當(dāng)最短時(shí)，最大，

即當(dāng)時(shí)，最大．

此時(shí)，

因此．又，所以，

所以．　 ………………………………………10分

解法一：因?yàn)?img width=39 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/303/438303.gif" >平面，平面，所以平面平面．

過作于，則平面，

過作于，連接，則為二面角的平面角，

在中，，，

又是的中點(diǎn)，在中，，

又，在中，，即所求二面角的余弦值為．……………14分

解法二：

由（Ⅰ）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又分別為的中點(diǎn)，所以

，

，

所以．

設(shè)平面的一法向量為，

則因此

取，則，因?yàn)?img width=68 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/381/438381.gif" >，，，

所以平面，故為平面的一法向量．

又，所以．

因?yàn)槎�面�?img width=77 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/355/438355.gif" >為銳角，所以所求二面角的余弦值為．………………14分