Question

6．在數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，求a₂、a₃、a₄的值，由此猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，猜想通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明步驟證明即可．

解答 解：a₁=$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{6}$，a₂=$\frac{3}{7}$，a₃=$\frac{3}{8}$，a₄=$\frac{3}{9}$，
猜想a_n=$\frac{3}{n+5}$，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\frac{3}{1+5}$=$\frac{1}{2}$，猜想成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1，k∈N^*）時(shí)猜想成立，
即a_k=$\frac{3}{k+5}$．則當(dāng)n=k+1時(shí)，
a_k+1=$\frac{3{a}_{k}}{{a}_{k}+3}$=$\frac{3•\frac{3}{k+5}}{\frac{3}{k+5}+3}$=$\frac{3}{（k+1）+5}$，
所以當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立，
由①②知，對(duì)n∈N^*，a_n=$\frac{3}{n+5}$都成立

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法法應(yīng)用，考查邏輯推理能力以及計(jì)算能力．