Question

2．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a+c=8，cosB=$\frac{1}{4}$．
（1）若$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=4，求b的值；
（2）若sinA=$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，求sinC的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的運算$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=accosB=4，利用余弦定理求b的值即可．
（2）利用sinA=$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，求解cosA的值，sinC=sin（A+B）打開即可求解．

解答 解：由$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=accosB=4，cosB=$\frac{1}{4}$．
∴ac=16
∵a+c=8，
可得：a²+c²+2ac=64，即a²+c²=32
cosB=$\frac{1}{4}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$
解得：b=$2\sqrt{6}$．
（2）∵cosB=$\frac{1}{4}$．即0＜B＜$\frac{π}{2}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
又∵sinA=$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$＜$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴0＜A＜B＜$\frac{π}{2}$，
∴cosA=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
則sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$．

點評 本題主要考查了正余弦定理的綜合運用能力和計算能力．屬于中檔題．