Question

7．如圖，在四棱錐中S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，
平面SAD⊥平面ABCD，E是線段AD上一點，AE=ED=$\sqrt{3}$，SE⊥AD．
（1）證明：平面SBE⊥平面SEC
（2）若SE=1，求直線CE與平面SBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）證明SE⊥AD，SE⊥BE．推出BE⊥CE．證明BE⊥平面SEC，然后證明平面SBE⊥平面SEC．
（2）以EB為x軸，以EC為y軸，以ES為z軸，建立空間直角坐標系．求出相關點的坐標，求出平面SBC的法向量，設直線CE與平面SBC所成角為θ，通過向量的數量積求解直線CE與平面SBC所成角的正弦值即可．

解答 解：（1）證明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，SE?平面SAD，SE⊥AD，
∴SE⊥平面ABCD，…（2分）
∵BE?平面ABCD，∴SE⊥BE．∵CD=3AB=3，AE=ED=$\sqrt{3}$，∴∠AEB=30°，∠CED=60°．
所以∠BEC=90°即BE⊥CE．…（4分）
結合SE∩CE=E得BE⊥平面SEC，∵BE?平面SBE，∴平面SBE⊥平面SEC．…（6分）
（2）由（1）知，直線ES，EB，EC兩兩垂直．
如圖，以EB為x軸，以EC為y軸，以ES為z軸，建立空間直角坐標系．
則$E（0，0，0），C（0，2\sqrt{3}，0），S（0，0，1），B（2，0，0）$，
∴$\overrightarrow{CB}=（2，-2\sqrt{3}，0），\overrightarrow{CS}=（0，-2\sqrt{3}，1）$．
設平面SBC的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{CB}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{CS}=0\end{array}\right.$
解得一個法向量$\overrightarrow n=（\sqrt{3}，1，2\sqrt{3}）$，…（9分）
設直線CE與平面SBC所成角為θ，
又$\overrightarrow{CE}=（0，-2\sqrt{3}，0）$，
則$sinθ=|{\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{CE}}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow{CE}}|}}}|=\frac{1}{4}$．
所以直線CE與平面SBC所成角的正弦值$\frac{1}{4}$．…（12分）

點評 本題考查直線與平面所成角的求法，直線與平面垂直的判定定理的應用，平面與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及計算能力．