已知函數(shù)f(x)=
ax+b
x2+1
在點M(1，f(1))處的切線方程為x-y-1=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=lnx，證明：g（x）≥f（x）對x∈[1，+∞）恒成立．
（Ⅰ）將x=1代入切線方程x-y-1=0，得y=0，∴f（1）=0．
又f(1)=
a+b
2
，化簡得a+b=0．
f′(x)=
a(x2+1)-(ax+b)•2x
(1+x2)2
，f′(1)=
2a-2(a+b)
4
=
-2b
4
=
-b
2
=1．
解得a=2，b=-2，
∴f(x)=
2x-2
x2+1
．
（Ⅱ）證明：要證lnx≥
2x-2
x2+1
在[1，+∞）上恒成立，
即證（x2+1）lnx≥2x-2在[1，+∞）上恒成立，
即證x2lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．
設(shè)h（x）=x2lnx+lnx-2x+2，則h′(x)=2xlnx+x+
1
x
-2．
∵x≥1，∴2xlnx≥0，x+
1
x
≥2，即h'（x）≥0．
∴h（x）在[1，+∞）上x∈[1，+∞）單調(diào)遞增，h（x）≥h（1）=0
∴g（x）≥f（x）在上恒成立．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=x2-2x
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并畫出函數(shù)f（x）的圖象．
（2）根據(jù)圖象寫出的單調(diào)區(qū)間和值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分15分）設(shè)函數(shù)且是奇函數(shù)，（1）求的值；（2）若，試求不等式的解集；（3）若，且在上的最小值為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

當(dāng)x＞1時，不等式mx2+mx+1≥x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）
A．[3+2
2
，+∞）		B．（-∞，3+2
2
]		C．[3-2
2
，+∞）		D．（-∞，3-2
2
]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

對于任意滿足θ∈[0，
π
2
]的θ，使得|sinθ-pcosθ-q|≤
2
-1
2
恒成立的所有實數(shù)對（p，q）是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若（m+1）x2-（m-1）x+3（m-1）＜0對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�
A．m＞1B．m＜-1
C．m＜-
13
11
D．m＞1或m＜-
13
11

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=x2+（lga-2）x+lgb滿足f（1）=0，
（1）求a+b的最小值及此時a與b的值；
（2）對于任意x∈R，恒有f（x）≥2x-6成立．求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

若命題：“任意x∈R，不等式ax2-x+1＞0恒成立”為真命題，則a的取值范圍是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，又f（2）=0，則xf（x）＜0（　�。�
A．（-2，0）∪（0，2）B．（-∞，-2）∪（0，2）C．（-∞，-2）∪（2，+∞）D．（-2，0）∪（2，+∞）

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