Question

（2012•廈門模擬）如圖，在一段筆直的國(guó)道同側(cè)有相距120米的A，C兩處，點(diǎn)A，C到國(guó)道的距離分別是119米、47米，擬規(guī)劃建設(shè)一個(gè)以AC為對(duì)角線的平行四邊形ABCD的臨時(shí)倉(cāng)庫(kù)，且四周圍墻總長(zhǎng)為400米，根據(jù)公路法以及省公路管理?xiàng)l例規(guī)定：建筑物離公路距離不得少于20米．若將臨時(shí)倉(cāng)庫(kù)面積建到最大，該規(guī)劃是否符合規(guī)定？

Answer 1

分析：由題意，|AB|+|CB|=|DA|+|DC|=200＞160，所以平行四邊形基地的另兩個(gè)頂點(diǎn)B，D在以A，C為焦點(diǎn)的橢圓上，建立坐標(biāo)系求出橢圓的方程，求出公路所在直線l的方程，當(dāng)C，D分別為橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，臨時(shí)倉(cāng)庫(kù)占地面積最大，求出點(diǎn)D到直線l的距離，即可得到結(jié)論．

解答：解：由題意，|AB|+|CB|=|DA|+|DC|=200＞160，所以平行四邊形基地的另兩個(gè)頂點(diǎn)B，D在以A，C為焦點(diǎn)的橢圓上
以AC所在直線為x軸，AC中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，可得橢圓方程為

x2

1002

+

y2

802

=1(y≠0)
設(shè)公路所在直線l與x軸相交于點(diǎn)E，且CE=x米，則

47

119

=

x

120+x

，∴x=

235

3

，即點(diǎn)E（

415

3

，0）
∴直線l的方程為：3x-4y-415=0
當(dāng)C，D分別為橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，臨時(shí)倉(cāng)庫(kù)占地面積最大，此時(shí)D（0，-80），
點(diǎn)D到直線l的距離為d=

|320-415|

5

=19＜20
∴該規(guī)劃不符合規(guī)定．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的應(yīng)用，考查橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點(diǎn)到直線距離公式，屬于中檔題．