Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（1+x）=f（1-x），又設(shè)g₁（x）=f（x+3），g₂（x）=f（3-x），給出下列四個命題：
①f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，g₁（x）的圖象與g₂（x）的圖象關(guān)于直線x=3對稱；
②f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，g₁（x）的圖象與g₂（x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱；
③f（x）的周期為4，g₁（x）與g₂（x）的周期均為2；
④f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，g₁（x）的圖象與g₂（x）的圖象關(guān)于直線x=3對稱．其中正確的命題有

②

（填入正確命題的序號）．

Answer 1

分析：f（1+x）=f（1-x），由其橫坐標間的數(shù)量關(guān)系可以判斷f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
g₂（-x）=g₁（x）可以判斷g₁（x）的圖象與g₂（x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱，問題即可解決．

解答：解：設(shè)P（x₀，y₀）為某曲線上任意一點，
∵P（x₀，y₀）關(guān)于直線x=1的對稱點P′（2-x₀，y₀），
∴點P與點P′的橫坐標之和為2，
    由 f（1+x）=f（1-x）知，（1+x）+（1-x）=2，
∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；
∵g₁（x）=f（x+3），g₂（x）=f（3-x），
∴g₂（-x）=f（x+3）=g₁（x），
∴g₁（x）的圖象與g₂（x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱；
   故答案為：②．

點評：本題考查函數(shù)關(guān)于直線的對稱問題，重點在于理解曲線上關(guān)于直線x=a對稱的兩點的橫坐標之間的關(guān)系，是容易題．