Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（其中a≠0）滿足下列3個(gè)條件：
①f（x）的圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；
②對(duì)于任意x∈R都有f(-

1

2

+x)=f(-

1

2

-x)成立；
③方程f（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，令g（x）=f（x）-|λx-1|（其中λ＞0），
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）；
（3）研究函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,帶絕對(duì)值的函數(shù),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,二次函數(shù)的性質(zhì),根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用f（0）=0求出c．通過(guò)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，得到a=b，通過(guò)方程f（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即可求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）化簡(jiǎn)函數(shù)g（x）的表達(dá)式為分段函數(shù)，通過(guò)x≥

1

λ

時(shí)，結(jié)合函數(shù)g（x）=x²+（1-λ）x+1的對(duì)稱(chēng)軸為求出單調(diào)求解，當(dāng)x＜

1

λ

時(shí)類(lèi)似求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間．
（3）結(jié)合（2）的函數(shù)的單調(diào)性，即可研究函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）由題意得f（0）=0，即c=0．…（1分）
∵對(duì)于任意x∈R都有f(-

1

2

+x)=f(-

1

2

-x)，
∴對(duì)稱(chēng)軸為x=-

1

2

，即-

b

2a

=-

1

2

，即a=b．
∴f（x）=ax²+ax，
∵方程f（x）=x僅有一根，即方程ax²+（a-1）x=0僅有一根，
∴△=0，即（a-1）²=0，即a=1．
∴f（x）=x²+x． …（4分）
（2）g（x）=f（x）-|λx-1|=

x2+(1-λ)x+1， x≥ 1 λ x2+(1+λ)x-1， x＜ 1 λ

①當(dāng)x≥

1

λ

時(shí)，函數(shù)g（x）=x²+（1-λ）x+1的對(duì)稱(chēng)軸為x=

λ-1

2

，
若

λ-1

2

≤

1

λ

，即0＜λ≤2，函數(shù)g（x）在(

1

λ

，+∞)上單調(diào)遞增；
若

λ-1

2

＞

1

λ

，即λ＞2，函數(shù)g（x）在(

λ-1

2

，+∞)上單調(diào)遞增，在(

1

λ

，

λ-1

2

)上遞減．
②當(dāng)x＜

1

λ

時(shí)，函數(shù)g（x）=x²+（1+λ）x-1的對(duì)稱(chēng)軸為x=-

1+λ

2

＜

1

λ

，
則函數(shù)g（x）在(-

1+λ

2

，

1

λ

)上單調(diào)遞增，在(-∞，-

1+λ

2

)上單調(diào)遞減．
綜上所述，
當(dāng)0＜λ≤2時(shí)，函數(shù)g（x）增區(qū)間為(-

1+λ

2

，+∞)，減區(qū)間為(-∞，-

1+λ

2

)；
當(dāng)λ＞2時(shí)，函數(shù)g（x）增區(qū)間為(-

1+λ

2

，

1

λ

)、(

λ-1

2

，+∞)，減區(qū)間為(-∞，-

1+λ

2

)、(

1

λ

，

λ-1

2

)．                                       …（9分）
（3）①當(dāng)0＜λ≤2時(shí)，由（2）知函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，
又g（0）=-1＜0，g（1）=2-|λ-1|＞0，
故函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上只有一個(gè)零點(diǎn)． …（12分）
②當(dāng)λ＞2時(shí)，則

1

λ

＜

1

2

＜1，而g（0）=-1＜0，g(

1

λ

)=

1

λ2

+

1

λ

＞0，g（1）=2-|λ-1|，
（ⅰ）若2＜λ≤3，由于

1

λ

＜

λ-1

2

≤1，
且g(

λ-1

2

)=(

λ-1

2

)2+(1-λ)•

λ-1

2

+1=-

(λ-1)2

4

+1≥0，
此時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上只有一個(gè)零點(diǎn)；
（ⅱ）若λ＞3，由于

λ-1

2

＞1且g（1）=2-|λ-1|＜0，此時(shí)g（x）在區(qū)間（0，1）
上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．
綜上所述，
當(dāng)0＜λ≤3時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)λ＞3時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)． …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)解析式的求法，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題．