Question

某學(xué)校舉行“科普與環(huán)保知識競賽”，并從中抽取了部分學(xué)生的成績（均為整數(shù)），所得數(shù)據(jù)的分布直方圖如圖．已知圖中從左至右前3個小組的頻率之比為1：2：3，第4小組與第5小組的頻率分別是0.175和0.075，第2小組的頻數(shù)為10．
（Ⅰ）求所抽取學(xué)生的總?cè)藬?shù)，并估計(jì)這次競賽的優(yōu)秀率（分?jǐn)?shù)大于80分）；
（Ⅱ）從成績落在（50.5，60.5）和（90.5，100.5）的學(xué)生中任選兩人，求他們的成績在同一組的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，設(shè)第一小組的頻率為x，則x+2x+3x+0.175+0.075=1，解得x=0.125，進(jìn)而結(jié)合題意中“可得第2小組的頻數(shù)為10”可得抽取顧客的總?cè)藬?shù)，最后可得分?jǐn)?shù)大于80分的學(xué)生所在的第四、第五小組的頻率和即本次競賽的優(yōu)秀率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)論，可得落在（50.5，60.5）和（90.5，100.5）的學(xué)生數(shù)，設(shè)落在（50.5，60.5）的學(xué)生設(shè)為Ai（i=1，2，3，4，5）；落在（90.5，100.5）的學(xué)生設(shè)為Bj（j=1，2，3），用列舉法可得“從這8人中任取兩人”的基本事件數(shù)和“成績落在同一組”的基本事件數(shù)；由古典概型公式，計(jì)算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)第一小組的頻率為x，則x+2x+3x+0.175+0.075=1，解得x=0.125，
第二小組的頻數(shù)為10，得抽取顧客的總?cè)藬?shù)為

10

2×0.125

=40人．
依題意，分?jǐn)?shù)大于80分的學(xué)生所在的第四、第五小組的頻率和為0.175+0.075=0.25，
所以估計(jì)本次競賽的優(yōu)秀率為25%．
（Ⅱ）落在（50.5，60.5）和（90.5，100.5）的學(xué)生數(shù)分別為0.125×40=5；0.075×40=3．
落在（50.5，60.5）的學(xué)生設(shè)為Ai（i=1，2，3，4，5）；落在（90.5，100.5）的學(xué)生設(shè)為Bj（j=1，2，3），
則從這8人中任取兩人的基本事件為：（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₃，B₃），（A₄，B₁），（A₄，B₂），（A₄，B₃），（A₅，B₁），（A₅，B₂），（A₅，B₃），（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₂，A₃），（B₁，B₂），（B₁，B₃），（B₁，B₄），（B₁，B₅），（B₂，B₃），（B₂，B₄），（B₂，B₅），（B₃，B₄），（B₃，B₅），（B₄，B₅），共28個基本事件；
其中“成績落在同一組”包括（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₂，A₃），（B₁，B₂），（B₁，B₃），（B₁，B₄），（B₁，B₅），（B₂，B₃），（B₂，B₄），（B₂，B₅），（B₃，B₄），（B₃，B₅），（B₄，B₅），共包含13個基本事件，
故所求概率為

13

28

點(diǎn)評：本題綜合考查列舉法計(jì)算古典概型與頻率分布直方圖的運(yùn)用，解題中注意列舉時按一定順序，要做到不重不漏．