Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=a，AA₁=2a，D是側(cè)棱的中點(diǎn)．
（I ）求證：平面ADC₁丄平面ACC₁A₁；
（II）求平面ADC₁與平面ABC所成二面角（銳角）的大小．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征得到線面的有關(guān)位置關(guān)系，即利用線線垂直證明線面垂直再利用直線在另一個(gè)平面內(nèi)進(jìn)而證明面面垂直．
（II）先由其中一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線，作交線的垂線即作出二面角的平面角，再證明此角是所求交，然后利用解三角形的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題即可．

解答：解：（I）證明：設(shè)AC、A₁C₁的中點(diǎn)分別為N、N₁，連接NN1交AC₁于M，連接MD，則NN₁與CC₁平行而且相等，
由已知可得MN=BD，所以BDMN是矩形，
所以DM∥BN．
因?yàn)锳BC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
所以平面ABC⊥平面ACC₁A₁，BN⊥AC，
所以BN⊥平面ACC₁A₁．
所以DM⊥平面ACC₁A₁，
因?yàn)镈M?平面ADC₁，
所以平面ADC₁⊥平面ACC₁A₁．
（II）因?yàn)锳BC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以△ABC是△ADC₁在平面ABC內(nèi)的射影．
設(shè)平面ADC1與平面ABC所成二面角（銳角）的大小等于θ，則cosθ=

S△ABC

S△ADC1

由已知得S△ABC=

3

4

a2，DM=BN=

3 a

2

，AC1=

5

a，
所以S△ADC1=

1

2

×AC1×DM=

15 a2

4

，
所以cosθ=

S△ABC

S△ADC1

=

5

5

，（θ為銳角）
所以θ=arccos

5

5

．
所以平面ADC₁與平面ABC所成二面角（銳角）的大小為arccos

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)特征得到線面垂直的有關(guān)結(jié)論，并且解決二面角的平面角．