Question

設(shè)橢圓E：（a，b＞0）過M（2，），N（，1）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）因?yàn)闄E圓E：（a，b＞0）過M（2，），N（，1）兩點(diǎn)，
所以，解得，所以，
橢圓E的方程為；
（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且，
設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m，
解方程組，得，
即，
則△=，即，
，
，
要使，需使，
即，
所以，所以，
又，
所以，所以，
因?yàn)橹本�y=kx+m為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，
所以圓的半徑為，，
所求的圓為，
此時(shí)圓的切線y=kx+m都滿足，
而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為，
與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，滿足；
綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，
且，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111125/201111251024497031452.gif">，
所以，

，
①當(dāng)k≠0時(shí)，，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111125/201111251024500151072.gif">，所以，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”；
②當(dāng)k=0時(shí)，；
③當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，兩個(gè)交點(diǎn)為，
所以此時(shí)；
綜上，|AB|的取值范圍為，即：。