Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₁=2，a_n+1=a_n+

1

an

(n∈N*)．
（Ⅰ）證明：a_n＞

2n+1

對(duì)n∈N^*恒成立；
（Ⅱ）令b_n=

an

n

(n∈N*)，判斷b_n與b_n+1的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）證法一：用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
證法二：由遞推公式得

a

2 n

=

a

2 n-1

+2+

1

a 2 n-1

，

a

2 n-1

=

a

2 n-2

+2+

1

a 2 m-2

a

2 2

=

a

2 1

+2+

1

a 2 1

，由此可知an＞

2n+1

(n∈N*)．
（2）解法一：由

bn+1

bn

=

an+1 n

an n+1

=(1+

1

a 2 n

)

n

n+1

＜(1+

1

2n+1

)

n

n+1

=

2(n+1) n

(2n+1) n+1

=

2 n(n+1)

2n+1

=

(n+ 1 2 )2- 1 4

n+ 1 2

＜1可知b_n+1＜b_n成立．
解法二：由

b

2 n+1

-

b

2 n

=

a 2 n+1

n+1

-

a 2 n

n

=

1

n+1

(

a

2 n

+

1

a 2 m

+2)-

a 2 n

n

=

1

n+1

(2+

1

a 2 m

-

a 2 n

n

)＜

1

n+1

(2+

1

2n+1

-

2n+1

n

)
=

1

n+1

(

1

2n+1

-

1

n

)＜0，可知b_n+1＜b_n．

解答：解：（1）證法一：當(dāng)n=1時(shí)，a1=2＞

2×1+1

，不等式成立，
假設(shè)n=k時(shí)，ak＞

2k+1

成立（2分），
當(dāng)n=k+1時(shí)，

a

2 k+1

=

a

2 k

+

1

a 2 k

+2＞2k+3+

1

a 2 k

＞2(k+1)+1．（5分）
∴n=k+1時(shí)，ak+1＞

2(k+1)+1

時(shí)成立
綜上由數(shù)學(xué)歸納法可知，an＞

2n+1

對(duì)一切正整數(shù)成立（6分）
證法二：由遞推公式得

a

2 n

=

a

2 n-1

+2+

1

a 2 n-1

，

a

2 n-1

=

a

2 n-2

+2+

1

a 2 m-2

a

2 2

=

a

2 1

+2+

1

a 2 1

（2分）
上述各式相加并化簡(jiǎn)得

a

2 n

=

a

2 1

+2(n-1)+

1

a 2 1

+…+

1

a 2 n-1

＞22+2(n-1)=2n+2＞2n+1+1+1（n≥2）（4分）
又n=1時(shí)，an＞

2n+1

顯然成立，故an＞

2n+1

(n∈N*)（6分）
（2）解法一：

bn+1

bn

=

an+1 n

an n+1

=(1+

1

a 2 n

)

n

n+1

＜(1+

1

2n+1

)

n

n+1

（8分）
=

2(n+1) n

(2n+1) n+1

=

2 n(n+1)

2n+1

=

(n+ 1 2 )2- 1 4

n+ 1 2

＜1（10分）
又顯然b_n＞0（n∈N^*），故b_n+1＜b_n成立（12分）
解法二：

b

2 n+1

-

b

2 n

=

a 2 n+1

n+1

-

a 2 n

n

=

1

n+1

(

a

2 n

+

1

a 2 m

+2)-

a 2 n

n

（8分）
=

1

n+1

(2+

1

a 2 m

-

a 2 n

n

)＜

1

n+1

(2+

1

2n+1

-

2n+1

n

)（10分）
=

1

n+1

(

1

2n+1

-

1

n

)＜0
故b_n+1²＜b_n²，因此b_n+1＜b_n（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式有靈活運(yùn)用．