Question

已知二次函數(shù)f(x)的最小值為1，且f(0)＝f(2)＝3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若f(x)在區(qū)間[2a，a＋1]上不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)在區(qū)間[－1,1]上，y＝f(x)的圖象恒在y＝2x＋2m＋1的圖象上方，試確定實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解析：　(1)由題意設f(x)＝a(x－1)²＋1，代入(2,3)得a＝2，

所以f(x)＝2(x－1)²＋1＝2x²－4x＋3.

(2)對稱軸為x＝1，所以2a<1<a＋1，所以0<a<.

(3)f(x)－2x－2m－1＝2x²－6x－2m＋2，

由題意得2x²－6x－2m＋2>0對于任意x∈[－1,1]恒成立，

所以x²－3x＋1>m對于任意x∈[－1,1]恒成立，令g(x)＝x²－3x＋1，x∈[－1,1]，

則g(x)_min＝－1，所以m<－1.