已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）且滿足f（-1）=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）-x≥0，并且當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，有數(shù)學(xué)公式
（1）求f（1）的值；
（2）證明：a＞0、c＞0；
（3）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，g（x）=f（x）-mx（m∈R）是單調(diào)的，求證：m≤0或m≥1．

解：（1）由條件可知對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈（0、2）恒成立，取x=1得1≤f（1）≤1，故f（1）=1．
（2）由f（-1）=0得a-b+c=0，故，
由對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）-x≥0得ax2+（b-1）x+c≥0，
所以，即，即
故a＞0，c＞0
（3）由（2）可知，在[-1、1]單調(diào)，
≥0或≤0在[-1、1]上恒成立，
所以或
分析：（1）由條件可知x∈（0、2）恒成立，取x=1即可求得f（1）的值；
（2）由條件可轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立問題，考慮開口和△，找出a、b、c的關(guān)系即可；
（3）已知g（x）的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)≥0或≤0恒成立即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次不等式恒成立問題、已知單調(diào)性求參數(shù)范圍問題，綜合性較強(qiáng)，難度較大．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且滿足f（2）=0，求實(shí)數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)（0，1），且與x軸有唯一的交點(diǎn)（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長度為12-t？請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時(shí)，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點(diǎn)，并求出極值點(diǎn)；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點(diǎn)是（-1，2），且經(jīng)過原點(diǎn)，求f（x）的解析式．

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