已知橢圓C:的離心率,兩焦點為F1,F(xiàn)2,B1,B2為橢圓C短軸的兩端點,動點M在橢圓C上.且△MF1F2的周長為18.
(I)求橢圓C的方程;
(II)當M與B1,B2不重合時,直線B1M,B2M分別交x軸于點K,H.求的值;
(III)過點M的切線分別交x軸、y軸于點P、Q.當點M在橢圓C上運動時,求|PQ|的最小值;并求此時點M的坐標.

【答案】分析:(I)由,得①,由△MF1F2的周長為18,得a+c=9②.聯(lián)立①②解得a,c,根據(jù)b2=a2-c2可求得b;
(II)由(I)易求B1,B2坐標,設(shè)M(x,y)(x≠0),由點斜式可得直線B1M的方程、直線B2M的方程,由直線方程可得點K、H坐標,通過計算可得的值;
(III)設(shè)切線方程為:y=kx+m(k≠0),代入橢圓方程得,(25k2+9)x2+50kmx+25m2-225=0(*),則△=0,點P(-,0),Q(0,m),由兩點間距離公式可得|PQ|2,利用基本不等式求其最小值,由等號成立條件可求得k值,進而得m值,再代入(*)式可得點M橫坐標,進而得縱坐標,根據(jù)對稱性可得其它象限的坐標;
解答:解:(I)由,得①,
由△MF1F2的周長為18,得2a+2c=18,即a+c=9②.
聯(lián)立①②解得a=5,c=4,所以b2=a2-c2=9,
所以橢圓C的方程為:;
(II)由(I)可得B1(0,-3),B2(0,3),
設(shè)M(x,y)(x≠0),則直線B1M的方程為:y=x-3,直線B2M的方程為:y=x+3,
令y=0,得,,則,,
所以==
,所以,代入上式,得==25;
(III)設(shè)切線方程為:y=kx+m(k≠0),代入橢圓方程得,(25k2+9)x2+50kmx+25m2-225=0(*),
則△=(50km)2-4(25k2+9)(25m2-225)=0,即m2=25k2+9①,
點P(-,0),Q(0,m),
則|PQ|2====+34=64,
當且僅當,即k=時取等號,
所以|PQ|的最小值為8,
此時m2=25k2+9=24,所以m=,
當m=2,k=時,代入(*)式并化簡得,
解得x=-,y=×(-)+2=
此時點M(-,),
由橢圓的對稱性可得當點M在第一、三、四象限時坐標分別為:(,),(-,-),(,-).
點評:本題考查橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系,考查向量的數(shù)量積運算、基本不等式求最值,考查學生分析解決問題的能力.
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已知橢圓C:的離心率為,且經(jīng)過點
(1)求橢圓C的方程;
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A.         B.                  C.2            D.

 

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.已知橢圓C:的離心率為,橢圓C上任意一點到橢圓兩個焦點的距離之和為6.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓C交于兩點,點,且,求直線的方程.

 

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