Question

已知f（x）=ax²+bx+c（a≠0）是偶函數(shù)，f（1）=5，f（2）=11
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）當x∈[-1，5]時，求f（x）的值域；
（Ⅲ）用定義證明f（x）在（-2，0）上是減函數(shù)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的值域

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意得

b=0 f(1)=a+b+c=5 f(2)=4a+2b+c=11

，從而解出a，b，c；從而寫出f（x）的解析式；
（Ⅱ）由觀察法寫函數(shù)在[-1，5]上的值域；
（Ⅲ）用定義法證明單調(diào)性一般可以分為五步，取值，作差，化簡變形，判號，下結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得，

b=0 f(1)=a+b+c=5 f(2)=4a+2b+c=11

，
解得，a=2，b=0，c=3；
故f（x）=2x²+3；
（Ⅱ）∵x∈[-1，5]，
∴0≤2x²≤25；
∴3≤2x²+3≤28；
則f（x）的值域為[3，28]；
（Ⅲ）證明：任取x₁，x₂∈（-2，0），且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=2x₁²+3-（2x₂²+3）
=2（x₁-x₂）（x₁+x₂），
∵x₁＜x₂＜0；
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＜0；
故f（x₁）-f（x₂）＞0；
故f（x）在（-2，0）上是減函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)的解析式的求法，值域的求法及單調(diào)性的證明，屬于基礎(chǔ)題．