Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右頂點分別為A、B，漸近線分別為l₁、l₂，點P在第一象限內(nèi)且在l₁上，若PA⊥l₂，PB∥l₂，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  5

• B、2
• C、

  3

• D、

  2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出雙曲線的頂點和漸近線方程，設(shè)P（m，

b

a

m），再由兩直線垂直和平行的條件，得到m，a，b的關(guān)系式，消去m，可得a，b的關(guān)系，再由離心率公式計算即可得到．

解答： 解：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右頂點分別為A（-a，0）、B（a，0），
漸近線分別為l₁：y=

b

a

x，l₂：y=-

b

a

x．
設(shè)P（m，

b

a

m），若PA⊥l₂，PB∥l₂，
則

b a m

m+a

•(-

b

a

)=-1①，且

b a m

m-a

=-

b

a

，②
由②可得m=

a

2

，
代入①可得b²=3a²，
即有c²-a²=3a²，即c=2a，
則有e=

c

a

=2．
故選B．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的漸近線方程和離心率的求法，運用兩直線垂直的條件和平行的條件是解題的關(guān)鍵．