Question

已知圓O：，直線l：y=kx+m與橢圓C：相交于P、Q兩點，O為原點．
（Ⅰ）若直線l過橢圓C的左焦點，且與圓O交于A、B兩點，且∠AOB=60°，求直線l的方程；
（Ⅱ）如圖，若△POQ重心恰好在圓上，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用圓心O到直線l的距離d==即可求得k，從而可得直線l的方程；
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，利用韋達定理可求得x₁+x₂=-，又△POQ重心恰好在圓x²+y²=上，可求得+=4，化簡可求得m²=，△＞0⇒1+2k²＞m²，二者聯立即可求得m的范圍．
解答：解：（Ⅰ）左焦點坐標為F（-1，0），設直線l的方程為y=k（x+1），由∠AOB=60°得，圓心O到直線l的距離d=，
又d=，
∴=，解得k=±．
∴直線l的方程為y=±（x+1）．
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
由△＞0得：1+2k²＞m²…（⊕），且x₁+x₂=-．
∵△POQ重心恰好在圓x²+y²=上，
∴+=4，
即+=4，即（1+k²）+4km（x₁+x₂）+4m²=4．
∴-+4m²=4，化簡得：m²=，代入（⊕）式得：k≠0，
又m²==1+=1+．
∵k≠0，
∴m²＞1，
∴m＞1或m＜-1．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查點到直線間的距離公式，突出考查韋達定理的應用，考查轉化思想與邏輯思維與運算能力，屬于難題．