Question

已知復數z₁=bcosC+（a+c）i，z₂=（2a-c）cosB+4i，且z₁=z₂，其中A、B、C為△ABC的內角，a、b、c為角A、B、C所對的邊．
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）若b=2

2

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用復數相等的條件得到關于cosB的解析式，再由正弦定理解出邊長代入cosB的解析式，
     解出cosB的值，從而得到角B的大�。�
（Ⅱ）利用余弦定理求出ac，再根據角B的大小，代入面積公式s=

1

2

ac×sinB 進行計算．

解答：解：（Ⅰ）∵z₁=z₂
∴bcosC=（2a-c）cosB①，a+c=4，②（2分）
由①得2acosB=bcosC+ccosB，③（3分）
在△ABC中，由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
設

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=k（k＞0）
則a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，代入③
得； 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB，（4分）
2sinAcosB=sin（B+C）=sin（π-A）=sinA  （5分）
∵0＜A＜π∴sinA＞0
∴cosB=

1

2

，
∵0＜B＜π∴B=

π

3

（7分）
（Ⅱ）∵b=2

2

，由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB?a²+c²-ac=8，④（10分）
由②得a²+c²+2ac=16⑤
由④⑤得ac=

8

3

，（12分）
∴S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×

8

3

×

3

2

=

2 3

3

．（14分）

點評：本題考查復數相等的充要條件，以及利用余弦定理、正弦定理解三角形和計算三角形的面積．