若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，則下列說法一定正確的是（ ）
A．f（x）為奇函數(shù)
B．f（x）為偶函數(shù)
C．f（x）+1為奇函數(shù)
D．f（x）+1為偶函數(shù)
【答案】分析：對任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，由此得f（0）=-1，f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1]，所以f（x）+1為奇函數(shù)．
解答：解：∵對任意x1，x2∈R有
f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，
∴令x1=x2=0，得f（0）=-1
∴令x1=x，x2=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1，
∴f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1]，
∴f（x）+1為奇函數(shù)．
故選C
點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）的定義域為A，若x1、x2∈A且f（x1）=f（x2）時總有x1=x2，則稱f（x）為單函數(shù)．例如，函數(shù)f（x）=2x+1（x∈R）是單函數(shù)．下列命題：
①若函數(shù)f（x）是f（x）=x2（x∈R），則f（x）一定是單函數(shù)；
②若f（x）為單函數(shù)，x1、x2∈A且x1≠x2，則f（x1）≠f（x2）；
③若定義在R上的函數(shù)f（x）在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f（x）一定是單函數(shù)；
④若函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，則f（x）一定不是單函數(shù)；
⑤若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則f（x）一定是單函數(shù)．
其中的真命題的序號是
②④
②④
．

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若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2，則下列說法一定正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若定義在R上的函數(shù)f（x）對任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1成立，且當x＞0時，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：f（x）是R上的增函數(shù)；
（3）若f（4）=5，不等式f（cos2x+asinx-2）＜3對任意的x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若定義在R上的函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù)．
（1）求證：f（x）在（-∞，0]上也是增函數(shù)；
（2）對任意θ∈R，不等式f（cos2θ-3）+f（2m-sinθ）＞0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），f（2-x）=f（x），且當x∈[0，1]時，其圖象是四分之一圓（如圖所示），則函數(shù)H（x）=|xex|-f（x）在區(qū)間[-3，1]上的零點個數(shù)為（　�。�
A、5B、4C、3D、2

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