Question

已知雙曲線C：的漸近線方程為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且，求|OP|²+|OQ|²的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由漸近線方程可得關(guān)于a、b的一個(gè)方程，再把點(diǎn)代入雙曲線的方程又得到關(guān)于a、b的一個(gè)方程，將以上方程聯(lián)立即可解得a、b的值；
（2）利用?、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式即可求出．
解答：解：（1）雙曲線C的漸近線方程為，
∴b²=3a²，
∵點(diǎn)在雙曲線上，∴，
聯(lián)立得，解得，
∴雙曲線C的方程為．
（2）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m，點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
將直線PQ的方程代入雙曲線C的方程，可化為（3-k²）x²-2kmx-m²-12=0
∴（*）
，
由，
把y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m代入上式可得，
∴，
化簡得m²=6k²+6．
，
當(dāng)k=0時(shí)，成立，且滿足（*）
又∵當(dāng)直線PQ垂直x軸時(shí)，|PQ|²＞24，
∴|OP|²+|OQ|²的最小值是24．
點(diǎn)評：熟練掌握待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程、?、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式是解題的關(guān)鍵．