Question

如圖三棱錐P－ABC中，PA＝a，AB＝AC＝2a，∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，求三棱錐P－ABC的體積．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：過點(diǎn)P作PO⊥平面ABC于點(diǎn)O，∵∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60° 　　∴AO平分∠BAC 　　∴cos∠PAO＝＝，∴sin∠PAO＝＝ 　　∴PO＝asin∠PAO＝a 　　∴V棱錐＝××2a×2asin60°×a＝a3 　　解法二：取AB、AC中點(diǎn)M、N的連結(jié)PM、PN 　　∵PA＝a，AB＝AC＝2a，∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60° 　　∴三棱錐P－AMN為棱長為a的正四面體，且SΔAMN＝SΔABC 　　∴VP－AMN＝VP－ABC，而VP－AMN＝a3 　　∴VP－ABC＝4VP－AMN＝a3 　　解法三：在ΔPAB中，PA＝a，AB＝2a 　　又∠PAB＝60°，∴∠APB＝90° 　　同理∠APC＝90°∴AP⊥平面PBC 　　又SΔPBC＝a2∴VP－ABC＝VA－PBC＝·a2·a＝a3． 　　解法一點(diǎn)評：這種方法叫直接法，就是利用錐體的體積公式直接計算，這是一種常規(guī)方法，必須掌握． 　　解法二點(diǎn)評：此法是根據(jù)棱長與含有60°角的三角形的關(guān)系，把錐體截成棱長相等的三棱錐，然后根據(jù)小錐體的體積與原棱錐的體積關(guān)系，求原棱錐的體積．