Question

設(shè)展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為M，二項(xiàng)式系數(shù)的和為N，M-N=992，則展開式中x² 項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．250
B．-250
C．150
D．-150

Answer 1

【答案】分析：利用賦值法求出展開式的各項(xiàng)系數(shù)和，據(jù)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為2ⁿ，列出方程求出n；利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為2求出展開式中x²項(xiàng)的系數(shù)．
解答：解：令x=1得M=4ⁿ，又N=2ⁿ，
∵M(jìn)-N=992，∴4ⁿ-2ⁿ=992，
令2ⁿ=k，則k²-k-992=0，
∴k=32，∴n=5，
∵T_r+1=C₅^r
=（-1）^r•C₅^r•5^5-r•x，
令=2，得r=3，
∴x²項(xiàng)系數(shù)為（-1）³C₅³•5²=-250．
故選項(xiàng)為B
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用賦值法求展開式的各項(xiàng)系數(shù)和；二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求展開式的特定項(xiàng)．