如圖，△BCD與△MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2。
（I）求直線AM與平面BCD所成角的大��；
（Ⅱ）求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值。

解：（Ⅰ）取CD中點(diǎn)O，連OB，OM，則OB⊥CD，OM ⊥CD
又平面MCD⊥平面BCD，則MO⊥平面BCD
所以MO∥AB
A、B、O、M共面
延長(zhǎng)AM、BO相交于E，則∠AEB就是AM與平面BCD所成的角

所以，即
∴直線AM與平面BCD所成角的大小為45°；
（Ⅱ）CE是平面ACM與平面BCD的交線。由（I）知，O是BE的中點(diǎn)，則BCED是菱形
作BF⊥EC于F，連AF，則AF⊥EC
∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，設(shè)為θ
因?yàn)椤螧CE=120°
所以∠BCF=60°

所以，所求二面角的正弦值是。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知四邊形ABCD為菱形，AB=6，∠BAD=60°，兩個(gè)正三棱錐P-ABD、S-BCD（底面是正三角形且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面正三角形的中心）的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，如圖，E、M、N分別在AD、
AB、AP上，且AM=AE=2，AN=
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AP，MN⊥PE．
（Ⅰ）求證：PB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求平面BPS與底面ABCD所成銳二面角的平面角的正切
值；
（Ⅲ）求多面體SPABC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)正四面體A-BCD的棱長(zhǎng)為1，（Ⅰ）如圖（1）M為CD中點(diǎn)，求異面直線AM與BC所成的角；（Ⅱ）將正四面體沿AB、BD、DC、BC剪開(kāi)，作為正四棱錐的側(cè)面如圖（2），求二面角M-AB-E的大小；（Ⅲ）若將圖（1）與圖（2）面ACD重合，問(wèn)該幾何體是幾面體（不需要證明），并求這幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

正四面體A-BCD的棱長(zhǎng)為1，（Ⅰ）如圖（1）M為CD中點(diǎn)，求異面直線AM與BC所成的角；（Ⅱ）將正四面體沿AB、BD、DC、BC剪開(kāi)，作為正四棱錐的側(cè)面如圖（2），求二面角M-AB-E的大�。唬á螅┤魧D（1）與圖（2）面ACD重合，問(wèn)該幾何體是幾面體（不需要證明），并求這幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2009-2010學(xué)年安徽省六校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知四邊形ABCD為菱形，AB=6，∠BAD=60°，兩個(gè)正三棱錐P-ABD、S-BCD（底面是正三角形且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面正三角形的中心）的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，如圖，E、M、N分別在AD、
AB、AP上，且．
（Ⅰ）求證：PB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求平面BPS與底面ABCD所成銳二面角的平面角的正切
值；
（Ⅲ）求多面體SPABC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2009-2010學(xué)年安徽省六校高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知四邊形ABCD為菱形，AB=6，∠BAD=60°，兩個(gè)正三棱錐P-ABD、S-BCD（底面是正三角形且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面正三角形的中心）的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，如圖，E、M、N分別在AD、
AB、AP上，且．
（Ⅰ）求證：PB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求平面BPS與底面ABCD所成銳二面角的平面角的正切
值；
（Ⅲ）求多面體SPABC的體積．

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