Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a1=3，

2-2an+1

an+1-3

=an(n∈N*)，記bn=

an-2

an+1

．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）若（4ⁿ-1）a_n≥t•2ⁿ⁺¹-17對(duì)任意n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）記cn=

3

an+1

，求證：c1•c2•c3…cn＞

7

12

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)

2-2an+1

an+1-3

=an(n∈N*)，可得bn=

an-2

an+1

=

4(an+1-2)

an+1+1

=4bn+1，從而可得數(shù)列{b_n}是以

1

4

為首項(xiàng)，

1

4

為公比的等比數(shù)列，故可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）將（4ⁿ-1）a_n≥t•2ⁿ⁺¹-17對(duì)任意n∈N^*恒成立，等價(jià)于t≤

4n+9

2n

=2n+

9

2n

對(duì)任意n∈N^*恒成立，根據(jù)y=m+

9

m

(m＞0)在（0，3）上單調(diào)遞減，在（3，+∞）上單調(diào)遞增，可求右邊函數(shù)的最小值，從而可求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）因?yàn)?span id="jlyteh1" class="MathJye">cn=

3

an+1

=1-

1

4n

，為了證明結(jié)論，首先猜想并證明(1-

1

4

)(1-

1

42

)  …  (1-

1

4n

)≥1-(

1

4

+

1

42

+ …+

1

4n

)，利用

1

4

+

1

42

+ …+

1

4n

＜

1 4

1- 1 4

=

1

3

，即可證得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵

2-2an+1

an+1-3

=an(n∈N*)，∴bn=

an-2

an+1

=

4(an+1-2)

an+1+1

=4bn+1，
∴

bn+1

bn

=

1

4

∵a1=3，b1=

1

4

∴數(shù)列{b_n}是以

1

4

為首項(xiàng)，

1

4

為公比的等比數(shù)列
∴bn=

1

4n

；
（Ⅱ）∵bn=

an-2

an+1

，∴an=

2•4n+1

4n-1

∵（4ⁿ-1）a_n≥t•2ⁿ⁺¹-17對(duì)任意n∈N^*恒成立，
∴t≤

4n+9

2n

=2n+

9

2n

對(duì)任意n∈N^*恒成立
∵y=m+

9

m

(m＞0)在（0，3）上單調(diào)遞減，在（3，+∞）上單調(diào)遞增
∴(2n+

9

2n

)min=min{2+

9

2

，4+

9

4

}=

25

4

∴t≤

25

4

∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是(-∞，

25

4

]；
（Ⅲ）∵cn=

3

an+1

=1-

1

4n

，
猜想(1-

1

4

)(1-

1

42

)  …  (1-

1

4n

)≥1-(

1

4

+

1

42

+ …+

1

4n

)
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①n=1時(shí)，左邊=

3

4

=右邊；n=2時(shí)，左邊=

45

64

，右邊=

11

16

，左邊＞右邊；
②假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)結(jié)論成立，即(1-

1

4

)(1-

1

42

)  …  (1-

1

4k

)≥1-(

1

4

+

1

42

+ …+

1

4k

)
則n=k+1時(shí)，左邊=(1-

1

4

)(1-

1

42

)  …  (1-

1

4k

)(1-

1

4k+1

)≥[1-(

1

4

+

1

42

+ …+

1

4k

)](1-

1

4k+1

)
＞1-(

1

4

+

1

42

+ …+

1

4k+1

)=右邊
由①②知，猜想(1-

1

4

)(1-

1

42

)  …  (1-

1

4n

)≥1-(

1

4

+

1

42

+ …+

1

4n

)成立
又

1

4

+

1

42

+ …+

1

4n

＜

1 4

1- 1 4

=

1

3

∴c1•c2•c3…cn=(1-

1

4

)(1-

1

42

)  …  (1-

1

4n

)≥1-(

1

4

+

1

42

+ …+

1

4n

)＞1-

1

3

＞

7

12

∴c1•c2•c3…cn＞

7

12

點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列遞推式為載體，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查恒成立問(wèn)題，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，及數(shù)列的特殊性，第（Ⅲ）難度較大．