Question

已知f(x)=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ,且a₁,a₂,…,a_n組成等差數(shù)列(n為正偶數(shù)).又f(1)=n²,f(-1)=n.

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式;

(2)證明＜f()＜3(n＞2).

Answer 1

(1)解:設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d,∵f(1)=n²,則a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n=n².由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可知

na₁+=a₁+a₂+…+a_n,

∴a₁n+=n².①

又∵f(-1)=n,則-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+…-a_n-1+a_n=n(這里運(yùn)用了n為正偶數(shù)),

∴d=n.②

解得d=2,代入①得

a₁n+·2=n²,

∴a₁+_n-1=n.∴a₁=1.

∴a_n=1+(_n-1)·2=2_n-1.

(2)證明:∵f()=+3·()²+5·()³+…+(2_n-1)·()ⁿ,③

③式兩邊同乘得f()=1·()²+3·()³+…+(2n-3)·()ⁿ+(2n-1)·()ⁿ⁺¹,④

③-④得f()-·f()=+2·()²+2·()³+2·()⁴+…+2·()ⁿ-(2n-1)·()ⁿ⁺¹= +2［()²+()³+()⁴+…+()ⁿ］-(2n-1)·()ⁿ⁺¹=+2×-(2n-1)·()ⁿ⁺¹=+1-()^n-1-(2n-1)·()ⁿ⁺¹,

∴f()=--.

∴f()=3-=3-.

∵＞0,∴3-＜3.∴f()＜3.

下面證f()＞.令g(n)=f()=3-.

∵n＞2,∴g(2)=3-=3-=,g(3)=3-=3-=,g(4)=3-.而＜＜,由此可以猜想g(n)是關(guān)于n的單調(diào)遞增函數(shù)(數(shù)列),證明如下:(注意n是偶數(shù))

∵g(n+2)-g(n)=3--(3-)=-＞0,

∴g(2)＜g(4)＜…＜g(n).

∴n＞2且為正偶數(shù)時(shí),g(n)是單調(diào)遞增函數(shù).

∴g(n)＞g(2)= (n＞2,n為正偶數(shù)).

綜上所述, ＜f()＜3.故命題成立.