Question

定義在R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象如圖，若兩個(gè)正數(shù)a，b滿足f（2a+b）＜1，且f（4）=1，則

b+1

a+1

的取值范圍是（　　）

• A、（

  1

  5

  ，

  1

  3

  ）
• B、（-∞，

  1

  3

  ）∪（5，+∞）
• C、（-∞，3）
• D、（

  1

  3

  ，5）

Answer 1

分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題即可求出結(jié)論．

解答：解：由圖象可知f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
∵兩個(gè)正數(shù)a，b滿足f（2a+b）＜1，且f（4）=1
∴2a+b＜4，
原題等價(jià)于

a＞0 b＞0 2a+b＜4

，求

b+1

a+1

的取值范圍．
畫出不等式組表示的可行區(qū)域，利用直線斜率的意義可得PA的斜率k=

-1-4

-1-0

=5，
PB的斜率k=

-1-0

-1-2

=

1

3

，
∴

b+1

a+1

∈（

1

3

，5），
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，將條件轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌直線的斜率公式．