(08年東城區(qū)統(tǒng)一練習(xí)一理)(14分)

如圖,在直三棱柱ABC―A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=BB1,直線B1C與平面ABC成30°角.

   (I)求證:平面B1AC⊥平面ABB1A1;

   (II)求直線A1C與平面B1AC所成角的正弦值;

   (III)求二面角B―B1C―A的大小.

解析:解法一:

   (I)證明:由直三棱柱性質(zhì),B1B⊥平面ABC,

∴B1B⊥AC,

又BA⊥AC,B1B∩BA=B,

∴AC⊥平面 ABB1A1,

又AC平面B1AC,

∴平面B1AC⊥平面ABB1A1.                                                               …………4分

  

(II)解:過A1做A1M⊥B1A1,垂足為M,連結(jié)CM,

∵平面B1AC⊥平面ABB1A,且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A,

∴A1M⊥平面B1AC.

∴∠A1CM為直線A1C與平面B1AC所成的角,

∵直線B1C與平面ABC成30°角,

∴∠B1CB=30°.

設(shè)AB=BB1=a,可得B1C=2a,BC=

∴直線A1C與平面B1AC所成角的正弦值為                                …………9分

   (III)解:過A做AN⊥BC,垂足為N,過N做NO⊥B1C,垂足為O,連結(jié)AO,

由AN⊥BC,可得AN⊥平面BCC1B1,由三垂線定理,可知AO⊥B1C,

∴∠AON為二面角B―B1C―A的平面角,

∴二面角B―B1C―A的大小為                                         …………14分

解法二:

   (I)證明:同解法一. …………4分

   (II)解:建立如圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)―xyz,

∵直線B1C與平面ABC成30°角,

∴∠B1CB=30°.

設(shè)AB=B1B=1,

∴直線A1C與平面B1AC所成角的正弦值為                                …………9分

   (III)解:設(shè)為平面BCC1B1的一個(gè)法向量,

∴二面角B―B1C―A的大小為                                         …………14分

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