Question

已知函數(shù)f（x）=4^x-2^x+1+3．
（1）當(dāng)f（x）=11時(shí)，求x的值；
（2）當(dāng)x∈[-2，1]時(shí)，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）f（x）=11，即4^x-2^x+1+3=11，以2^x為單位，解關(guān)于x的方程，通過因式分解得（2^x-4）（2^x+2）=0，再討論2^x為的正數(shù)的性質(zhì)，可得2^x=4，故x=2成立；
（2）以2^x為單位，將原函數(shù)化簡為關(guān)于它的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合x∈[-2，1]，找到函數(shù)取最大值和最小值對(duì)應(yīng)的x，從而找出函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）當(dāng)f（x）=11，即4^x-2^x+1+3=11時(shí)，（2^x）²-2•2^x-8=0
∴（2^x-4）（2^x+2）=0
∵2^x＞02^x+2＞2，
∴2^x-4=0，2^x=4，故x=2----------------（4分）
（2）f（x）=（2^x）²-2•2^x+3    （-2≤x≤1）
令∴f（x）=（2^x-1）²+2
當(dāng)2^x=1，即x=0時(shí)，函數(shù)的最小值f_min（x）=2--------------（10分）
當(dāng)2^x=2，即x=1時(shí)，函數(shù)的最小值f_max（x）=3--------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．抓住題中的基本量與單位元，靈活地運(yùn)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解題，是本題的關(guān)鍵．