Question

設雙曲線C：

x2

2

-y2=1的左、右頂點分別為A₁，A₂垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點p，Q．
（1）若直線m與x軸正半軸的交點為T，且

A1P

•

A2Q

=1，求點T的坐標；
（2）求直線A₁P與A₂Q的交點M的軌跡E的方程．

Answer 1

分析：（1）利用已知

A1P

•

A2Q

=1，得到P的坐標滿足的等式，又點P在雙曲線上得到p的坐標滿足的另一個等式，解方程組求出p的坐標，進一步得到T的坐標．
（2）利用A₁，P，M三點共線，得：(x0+

2

)y=y0(x+

2

)，由A₂，Q，M三點共線，(x0-

2

)y=-y0(x-

2

)，
從中得到x0=

2

x

，y0=

2 y

x

，又P（x₀，y₀）在雙曲線上，
代入雙曲線方程求出軌跡方程．

解答：解：（1）由題意得A1(-

2

，0)，A2(

2

，0)，設P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），
則

A1P

=(x0+

2

，y0)，

A2Q

=(x0-

2

，-y0)．
由

A1P

•

A2Q

=1⇒

x

2 0

-

y

2 0

-2=1，
即x₀²-y₀²=3，①…（3分）
又P（x₀，y₀）在雙曲線上，則

x 2 0

2

-

y

2 0

=1．②
聯(lián)立①、②，解得：x₀=±2，由題意，x₀＞0，
∴x₀=2，
∴點T的坐標為（2，0）…（6分）
（2）設直線A₁P與A₂Q的交點M的坐標為（x，y），
由A₁，P，M三點共線，得：(x0+

2

)y=y0(x+

2

)，①
由A₂，Q，M三點共線，得：(x0-

2

)y=-y0(x-

2

)，②
聯(lián)立①、②，解得：x0=

2

x

，y0=

2 y

x

．…（9分）
∵P（x₀，y₀）在雙曲線上，
∴

( 2 x )2

2

-(

2 y

x

)2=1
∴軌跡E的方程為

x2

2

+y2=1(x≠0，y≠0)．…（12分）

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了學生對解析幾何學知識的綜合運用．