在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)A1,A2,A3,…,An,使這n+2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列;又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)B1,B2,B3,…,Bn,使這n+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.記An=A1A2A3An,Bn=B1+B2+…+

Bn.

(1)求數(shù)列{An} 和{Bn}的通項(xiàng);

(2)當(dāng)n≥7時(shí),比較AnBn的大小,并證明你的結(jié)論.

解析:(1)∵1,a1,a2,a3,…,an,2成等比數(shù)列,?

a1an=a2an-1=a3an-2=…=akan-k+1=…=1×2=2.?

∴An2=(a1an)(a2an-1)(a3an-2)…(an-1a2)(ana1)=(1×2)=2.

∴An=2.?

∵1,b1,b2,b3,…,bn,2成等差數(shù)列,?

∴Bn=()n=n.?

∴數(shù)列{An}的通項(xiàng)An=2,數(shù)列{Bn}的通項(xiàng)Bn=n.?

(2)∵An=2,?

Bn=n,

?

∴An2=2n,Bn2=n2,要比較An與Bn的大小,只需比較An2與Bn2的大小,也就是比較當(dāng)n≥7,2nn2的大小.?

當(dāng)n=7時(shí),2n=128,n2=×49=110,知2nn2.?

經(jīng)驗(yàn)證,n=8,n=9時(shí),均有2nn2成立,猜想,

當(dāng)n≥7時(shí)有2nn2,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

①當(dāng)n=7時(shí),已證2nn2,?

②假設(shè)n=k(k≥7)時(shí),不等式成立,即2kk2?,

那么,當(dāng)n=k+1時(shí),?

2k+1=2·2k>2·k2?

=[(k+1)2+k2-2k-1]?

=[(k+1)2+k(k-2)-1].?

k≥7,?

k(k-2)≥35,k(k-2)-1>0.?

[(k+1)2+k(k-2)-1]>(k+1)2.?

故2k+1 (k+1)2,即n=k+1時(shí)不等式也?成立.??

根據(jù)①②,當(dāng)n≥7時(shí),2nn2成立,即An2>Bn2,

∴An>Bn.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)a1,a2,a3,…,an,使這n+2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列;又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)b1,b2,b3,…,bn,使這n+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.記An=a1a2a3…an,Bn=b1+b2+b3+…+bn
(1)求數(shù)列{An}和{Bn}的通項(xiàng);
(2)當(dāng)n≥7時(shí),比較An和Bn的大小,并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在1與2之間插入n個(gè)正數(shù),使這n+2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列;又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù),使這n+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列。記

。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(1)       求數(shù)列的通項(xiàng);(2)當(dāng)的大小關(guān)系(不需證明)。

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在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)a1,a2,a3,…,an,使這n+2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列;又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)b1,b2,b3,…,bn,使這n+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.記An=a1a2a3…an,Bn=b1+b2+b3+…+bn.

(1)求數(shù)列{An}和{Bn}的通項(xiàng);

(2)當(dāng)n≥7時(shí),比較An與Bn的大小,并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)a1,a2,a3,…,an,使這n+2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列;又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)b1,b2,b3,…,bn,使這n+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.記An=a1a2a3…an,Bn=b1+b2+b3+…+bn.

(1)求數(shù)列{An} 和{Bn}的通項(xiàng);

(2)當(dāng)n≥7時(shí),比較An與Bn的大小,并證明你的結(jié)論.

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