如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD^底面ABCD,PD=DC,EPC的中點.

1)證明PA∥平面EDB;(2)求EB與底面ABCD所成的角的正切值.

答案:
解析:

本題考查直線與平面平行、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識,考查空間想像能力和推理論證能力,

方法一:

(1)證明:連結(jié)AC,ACBDO.連結(jié)EO

∵ 底面ABCD是正方形,∴ 點OAC的中點.

在DPAC中,EO是中位線.∴ PAEO

EOÌ平面EDBPAË平面EDB,所以,PA∥平面EDB

(2)解:作EF^DCCDF,連結(jié)BF,設(shè)正方形ABCD的邊長為a

PD^底面ABCD PD^DC EFPD   FDC的中點

EF^底面ABCD,BFBE在底面ABCD內(nèi)的射影,故ÐEBF為直線EB與底面ABCD所成的角.

在RtDBCF中,

  ∴ 在RtDEFB中,

所以EB與底面ABCD所成的角的正切值為

方法二:如圖所示建立空間直角坐標系,D為坐標原點.設(shè)DC=a

(1)證明:連結(jié)AC,ACBDG.連結(jié)EG.依題意得A(a,0,0),P(0<span lang=ZH-CN style='mso-bidi-font-size: 10.5pt;font-family:宋體;mso-ascii-font-family:"Times New Roman";mso-hansi-font-family: "Times New Roman"'>,0,a),E()

∵ 底面ABCD是正方形∴ G是此正方形的中心,故點G的坐標為()

這表明,PAEG

EGÌ平面EDBPAË平面EDB  ∴ PA∥平面EDB

(2)解:依題意得B(a,a,0),C(0,a,0)取DC的中點F(),連結(jié)EFBF

 ∴ FE^FB,FE^DC

FE^底面ABCDBFBE在底面ABCD內(nèi)的射影,故ÐEBF為直線EB與底面ABCD所成的角.

在RtDEFB中,

所以,EB與底面ABCD所成的角的正切值為


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