某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品每年需投入固定成本為0.5萬元,此外每生產(chǎn)100件這種產(chǎn)品還需要增加投入0.25萬元.經(jīng)預(yù)測知,當(dāng)售出這種產(chǎn)品t百件時,若0<t≤5,則銷售所得的收入為5t-
1
2
t2萬元:若t>5,則銷售所得收入為
1
8
t
+
23
2
萬元.
(1)若該公司的這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為x百件(x>0),請把該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤y表示為當(dāng)年生產(chǎn)量x的函數(shù);
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時,當(dāng)年公司所獲利潤最大?
(3)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時,當(dāng)年公司不會虧本?(取
21.5625
為4.64)
分析:(1)根據(jù)銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤=銷售所得的收入-銷售成本,建立函數(shù)關(guān)系即可;
(2)分別求出每一段函數(shù)的最值,然后比較求出最大值,從而求出所求;
(3)由題意知f(x)≥0,然后分別求出每一段滿足的x的值即可.
解答:(本題滿分13分)
解:(1)當(dāng)0<x≤5時,f(x)=5x-0.5x2-(0.5+0.25x)=-0.5x2+4.75x-0.5
當(dāng)x>5時,f(x)=
1
8
x+
23
2
-(0.5+0.25x)
=-0.125x+11
∴f(x)=
-0.5x2+4.75x-0.5   ,0<x≤5
-0.125x+11           ,x>5
                        …(4分)
(2)當(dāng)0<x≤5時,f(x)=-0.5x2+4.75x-0.5=-0.5(x-4.75)2+10.78125
∴當(dāng)x=4.75時,f(x)max=10.78125
當(dāng)x>5時,f(x)=-0.125x+11<-0.125×5+11=10.375<10.78125
∴當(dāng)年產(chǎn)量為4.75(百件)時,當(dāng)年公司所得利潤最大,最大為10.78125萬元.…(9分)
(3)由題意知f(x)≥0
當(dāng)0<x≤5時,-0.5x2+4.75x-0.5≥0,
-
21.5625
+4.75≤x
21.5625
+4.75

∴0.11≤x≤9.39,又0<x≤5,
∴0.11≤x≤5
當(dāng)x>5時,-0.125x+11≥0,
∴5<x≤88
綜上可得,∴0.11≤x≤88
∴當(dāng)年產(chǎn)量為11件~8800件之間時,公司不會虧本.…(13分)
點評:本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,以及分段函數(shù)求最值問題,同時考查了計算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本為0.5萬元,但每生產(chǎn)100件需再增加成本0.25萬元,市場對此產(chǎn)品的年需求量為500件,年銷售收入(單位:萬元)為R(t)=5t-
t22
(0≤t≤5),其中t為產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位:百件).
(1)把年利潤表示為年產(chǎn)量x(百件)(x≥0)的函數(shù)f(x);
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少件時,公司可獲得最大年利潤?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•孝感模擬)某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,每年需投入固定成本0.5萬元,此外每生產(chǎn)1百件這樣的產(chǎn)品,還需增加投入0.25萬元,經(jīng)市場調(diào)查知這種產(chǎn)品年需求量為5百件,產(chǎn)品銷售數(shù)量為t(百件)時,銷售所得的收入為(5t-
12
t2)
萬元.
(1)該公司這種產(chǎn)品的年生產(chǎn)量為x百件,生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得到的利潤關(guān)于當(dāng)年產(chǎn)量x的函數(shù)為f(x),求f(x).
(2)當(dāng)該公司的年產(chǎn)量為多少件時,當(dāng)年所獲得的利潤最大.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2007•長寧區(qū)一模)某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,每年投入固定成本0.5萬元,此外,每生產(chǎn)1件這種產(chǎn)品還需要增加投入25元,經(jīng)測算,市場對該產(chǎn)品的年需求量為500件,且當(dāng)出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為t(單位:百件)時,銷售所得的收入約為5t-
12
t2
(萬元).
(1)若該公司這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為x(單位:百件).試把該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤y表示為年產(chǎn)量x的函數(shù);
(2)當(dāng)該公司的年產(chǎn)量x多大時,當(dāng)年所得利潤y最大?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•泉州模擬)某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,每生產(chǎn)1千件需投入成本81萬元,每千件的銷售收入R(x)(單位:萬元)與年產(chǎn)量x(單位:千件)滿足關(guān)系:R(x)=-x2+324(0<x≤10).該公司為了在生產(chǎn)中獲得最大利潤(年利潤=年銷售收入-年總成本),則年產(chǎn)量應(yīng)為(  )

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案