Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對任意的正整數(shù)n，都有a_n=5S_n+1成立，記bn=

4+an

1-an

（n∈N*），
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）記C_n=b_2n-b_2n-1（n∈N*），設數(shù)列{C_n}的前n和為T_n，求證：對任意正整數(shù)n，都有Tn＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）令n等于1代入a_n=5S_n+1中，即可求出首項a₁，然后把n換為n+1，利用a_n=5S_n+1表示出

an

an-1

，它的值即為公比，得到此數(shù)列為等比數(shù)列，然后根據(jù)首項和公比寫出數(shù)列的通項公式即可，因而可得出b_n的通項公式；
（2）根據(jù)b_n的通項公式，計算出c_n的通項公式，再比較Tn與

3

2

的大小；

解答：解：（1）∵5S_n=a_n-1
當n=1時，a₁=5a₁+1∴a1=-

1

4

當n≥2時，5a_n=5S_n-5S_n-1=a_n-1-（a_n-1-1）=a_n-a_n-1，

an

an-1

=-

1

4

∴數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，其首項a1=-

1

4

，公比q=-

1

4

∴an=(-

1

4

)n∴bn=

4+(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )n

（n∈N*） （5分）
（2）由（1）知bn=4+

5

(-4)n-1

∴cn=b2n-b2n-1=

5

42n-1

+

5

42n-1+1

=

25×16n

(16n-1)(16n+4)

=

25×16n

(16n)2+3×16n-4

＜

25×16n

(16n)2

=

25

16n

又 b₁=3，b2=

13

3

∴c1=

4

3

當n=1時，T1＜

3

2

當n≥2時，Tn＜

4

3

+25×(

1

162

+

1

163

+…+

1

16n

)=

4

3

+25×

1 162 (1- 1 16n-1 )

1- 1 16

＜

4

3

+25×

1 162

1- 1 16

=

69

48

＜

3

2

（12分）

點評：此題考查學生靈活運用等比數(shù)列的通項公式及前n項和的公式化簡求出，會確定一個數(shù)列為等比數(shù)列，考查數(shù)列遞推式的求解及相關計算．是一道綜合題．