Question

解下列關(guān)于x的不等式：
（1）（ax-2）（x+1）＞0；
（2）（1-ax）²＜1；
（3）12x²-ax＞a²．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）不等式即a（x-

2

a

）（x+1）＞0，再分當(dāng)a＞0時(shí)、當(dāng)a=0時(shí)、當(dāng)a＜0時(shí)三種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得不等式的解集．
（2）由（1-ax）²＜1可得-1＜ax＜1，再分當(dāng)a=0時(shí)、當(dāng)a＞0時(shí)、當(dāng)a＜0時(shí)三種情況，分別求得不等式的解集．
（3）不等式12x²-ax＞a²，即12x²-ax-a² ＞0，它的判別式△≥0，再分當(dāng)a=0時(shí)、故當(dāng)a＞0時(shí)、當(dāng)a＜0時(shí)三種情況，分別求得不等式的解集．

解答： 解：（1）對(duì)于（ax-2）（x+1）＞0，即a（x-

2

a

）（x+1）＞0，
當(dāng)a＞0時(shí)，

2

a

＞0，不等式的解集為{x|x＜-1，或 x＞

2

a

}；
當(dāng)a=0時(shí)，不等式即-2（x+1）＞0，x+1＜0，求得不等式的解集為{x|x＜-1}；
當(dāng)a＜0時(shí)，若0＞a＞-2，則

2

a

＜-1，不等式的解集為{x|-

2

a

x＜-1}；
若a=-2，不等式即-2（x+1）²＞0，不等式無(wú)解，即它的解集為∅．
若a＜-2，則

2

a

＞-1，不等式的解集為{x|-1＜x＜

2

a

}．
（2）由（1-ax）²＜1可得-1＜ax＜1，
當(dāng)a=0時(shí)，不等式無(wú)解；當(dāng)a＞0時(shí)，不等式的解集為{x|-

1

a

＜x＜

1

a

}；當(dāng)a＜0時(shí)，不等式的解集為{x|

1

a

＜x＜-

1

a

}．
（3）不等式12x²-ax＞a²，即12x²-ax-a² ＞0，它的判別式△=a²+48a²=49a²≥0，
當(dāng)a=0時(shí)，△=0，不等式的解集為{x|x≠0}．
當(dāng)a≠0時(shí)，不等式的解集為{x|x＜

a-|7a|

24

，或x＞

a+|7a|

24

}，
故當(dāng)a＞0時(shí)，不等式的解集為{x|x＜-

a

4

，或x＞

a

3

}；當(dāng)a＜0時(shí)，不等式的解集為{x|x＜

a

3

，或x＞-

a

4

}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次不等式的解法，體現(xiàn)了�；�、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．