Question

已知函數(shù)f（x）=ln（ax+1）+x²-ax，a＞0，
（Ⅰ）若是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間A；
（Ⅲ）若對(duì)于任意的a∈[1，2]，不等式f（x）≤m在上恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）若是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求導(dǎo)得到f′（）=0得，求a；（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間A，比較f′（x）=0的兩根的大小，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若對(duì)于任意的a∈[1，2]，不等式f（x）≤m在上恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值．
解答：解：（Ⅰ）
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101225335407486426/SYS201311012253354074864019_DA/4.png">是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，所以，得a²-a-2=0．
因?yàn)閍＞0，所以a=2．
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）的定義域是，
．
（1）當(dāng)時(shí)，列表
f（x）在，是增函數(shù)；
f（x）在是減函數(shù)．
（2）當(dāng)時(shí)，34．gif，f（x）在是增函數(shù)．
（3）當(dāng)時(shí)，列表
f（x）在，（0，+∞）是增函數(shù)；
f（x）在是減函數(shù)．
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，
由（Ⅱ）可知f（x）在上是增函數(shù)．
當(dāng)時(shí)，也有f（x）在上是增函數(shù)，
所以對(duì)于對(duì)于任意的a∈[1，2]，f（x）的最大值為f（1）=ln（a+1）+1-a，
要使不等式f（x）≤m在上恒成立，
須ln（a+1）+1-a≤m，
記g（a）=ln（a+1）+1-a，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101225335407486426/SYS201311012253354074864019_DA/23.png">，
所以g（a）在[1，2]上遞減，g（a）的最大值為g（1）=ln2，所以m≥ln2．
故m的取值范圍為[ln2，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：考查x=x是極值點(diǎn)是f′（x）=0的充分非必要條件，考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值最值問(wèn)題，有關(guān)恒成立的問(wèn)題一般采取分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬難題．