Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對任意的正整數(shù)n，都有a_n=5S_n+1成立．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求證：

S2n

Sn

≥

3

4

，n∈N*．

Answer 1

分析：（1）令n等于1代入a_n=5S_n+1中，即可求出首項a₁，然后把n換為n+1，利用a_n=5S_n+1表示出a_n+1，兩個式子相減并利用S_n+1-S_n=a_n化簡后即可得到

an+1

an

的值即為公比，得到此數(shù)列為等比數(shù)列，然后根據首項和公比寫出數(shù)列的通項公式即可；
（2）由a_n=5S_n+1解出S_n，把第一問求出的{a_n}的通項公式代入即可得到S_n的通項公式，并表示出S_2n，把表示出的式子代入到所證不等式的左邊，討論n為偶數(shù)和奇數(shù)得到比值的最小值為

3

4

，得證．

解答：解：（1）當n=1時，a₁=5S₁+1，∴a₁=-

1

4

，
又∵a_n=5S_n+1，a_n+1=5S_n+1+1，
∴a_n+1-a_n=5a_n+1，即

an+1

an

=-

1

4

且a_n≠0，n∈N^*，
∴數(shù)列{a_n}是首項為a₁=-

1

4

，公比為q=-

1

4

的等比數(shù)列，
∴a_n=（-

1

4

）ⁿ；
（2）Sn=

an-1

5

=

(- 1 4 )n-1

5

，
∵|(-

1

4

)n|=(

1

4

)n＜1，∴(-

1

4

)n-1＜0，∴S_n≠0，
又

S2n

Sn

=

(- 1 4 )2n-1

(- 1 4 )n-1

=(-

1

4

)n+1，
當n=2m，m∈N^*（偶數(shù)）時，比值=1+(-

1

4

)2m=1+(

1

16

)m＞1＞

3

4

，
當n=2m-1，m∈N^*（奇數(shù)）時，比值=1+(-

1

4

)2m-1=1-(

1

4

)2m-1，
關于m為遞增數(shù)列，當m=1時，取到最小值1-

1

4

=

3

4

，
綜上所述，對任何正整數(shù)n，不等式

S2n

Sn

≥

3

4

，n∈N*恒成立．

點評：此題考查學生靈活運用等比數(shù)列的通項公式及前n項和的公式化簡求出，會確定一個數(shù)列為等比數(shù)列，是一道綜合題．