Question

已知f（x）=2^x-

1

2|x|

①若f（x）=

3

2

，求x；
②若2^tf（2t）+mf（t）≥0對(duì)t∈[1，2]恒成立，求m的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（x）=

3

2

即2^x-

1

2x

=

3

2

，先解2^x，再解x值，注意2^x＞0；
（2）不等式2^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立，通過(guò)整理變形轉(zhuǎn)化為4^t+1+m≥0恒成立，分離參數(shù)m后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題解決；

解答： 解：（1）f（x）=2即2^x-

1

2x

=

3

2

，得2×4^x-3×2^x-1=0，∴2^x=-

1

2

或2^x=2，
又∵2^x＞0，∴2^x=2，
∴x=1．
（2）∵2^t（2^2t-

1

22t

）+m（2^t-

1

2t

）≥0，
∴2^t（2^t-

1

2t

）（2^t+

1

2t

）+m（2^t-

1

2t

）≥0，∵t∈[1，2]，∴2^t＞

1

2t

，
∴4^t+1+m≥0恒成立，即m≥-（4^t+1）恒成立，問(wèn)題等價(jià)于m大于等于-（4^t+1）的最大值-5，
∴m≥-5，
因此m的取值范圍為[-5，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題及指數(shù)方程的求解，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，恒成立問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題解決，或分離參數(shù)后再求函數(shù)最值．