Question

已知曲線f(x)=

1

3

x3-ax+4在x=1處的切線方程是y=-3x+b．
（1）求實(shí)數(shù)a和b的值；
（2）若函數(shù)y=f（x）-m在區(qū)間（0，+∞）上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用曲線f(x)=

1

3

x3-ax+4在x=1處的切線方程是y=-3x+b，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，列出方程，解出a、b即可；
（2）函數(shù)y=f（x）-m在區(qū)間（0，+∞）上有零點(diǎn)，即方程函數(shù)f（x）=m在區(qū)間（0，+∞）上有解，故只須m在函數(shù)y=f（x）（x∈（0，+∞））的值域內(nèi)即可，故利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)y=f（x）（x∈（0，+∞））的最值即可．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

3

x3-ax+4，∴f'（x）=x²-a，依題意得
∴f′（1）=1-a=-3，∴a=4；
又可得切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

1

3

），代入切線的方程y=-3x+b，得b=

10

3

．
（2）由f'（x）=x²-4=（x+2）（x-2），令f'（x）=0
解得x=-2或x=2；當(dāng)f'（x）＞0時(shí)，解得 x＜-2或x＞2；當(dāng)f'（x）＜0，解得-2＜x＜2．
∴f（x）在（0，2）遞減，在（2，+∞）上遞增，
故f（2）=-

4

3

為最小值．
要使y=f（x）-m在區(qū)間（0，+∞）上有零點(diǎn)，
則m≥-

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用以及數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用能力，對(duì)學(xué)生有一定的能力要求，有一定的難度．