Question

如圖，、、…、 是曲線：上的個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)（）在軸的正半軸上，且是正三角形（是坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（1）寫出、、；

（2）求出點(diǎn)（）的橫坐標(biāo)關(guān)于的表達(dá)式并證明.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)

（2）．

【解析】（1）依題意，得.解得；

.解得；同理.（2）由猜想．利用數(shù)學(xué)歸納法證明，時(shí)，成立；假定當(dāng)時(shí)命題成立，即有，尋找與的關(guān)系，用去證明.根據(jù)已知得，及，得，即．把代入求，保證.即得證明

(Ⅰ)

（2）依題意，得，由此及得

，即．

由（Ⅰ）可猜想：．

下面用數(shù)學(xué)歸納法予以證明：（1）當(dāng)時(shí)，命題顯然成立；

（2）假定當(dāng)時(shí)命題成立，即有，則當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)及

得，即

，

解之得：（不合題意，舍去），

即當(dāng)時(shí)，命題成立．

由（1）、（2）知：命題成立