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如圖，、、…、 是曲線：上的個點，點（）在軸的正半軸上，且是正三角形（是坐標原點）．

（1）寫出、、；

（2）求出點（）的橫坐標關于的表達式并證明.

 

【答案】

(Ⅰ)

（2）．

【解析】（1）依題意，得.解得；

.解得；同理.（2）由猜想．利用數學歸納法證明，時，成立；假定當時命題成立，即有，尋找與的關系，用去證明.根據已知得，及，得，即．把代入求，保證.即得證明

(Ⅰ)

（2）依題意，得，由此及得

，即．

由（Ⅰ）可猜想：．

下面用數學歸納法予以證明：（1）當時，命題顯然成立；

（2）假定當時命題成立，即有，則當時，由歸納假設及

得，即

，

解之得：（不合題意，舍去），

即當時，命題成立．

由（1）、（2）知：命題成立

 

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網精英家教網如圖1，OA，OB是某地一個湖泊的兩條互相垂直的湖堤，線段CD和曲線段EF分別是湖泊中的一座棧橋和一條防波堤．為觀光旅游的需要，擬過棧橋CD上某點M分別修建與OA，OB平行的棧橋MG、MK，且以MG、MK為邊建一個跨越水面的三角形觀光平臺MGK．建立如圖2所示的直角坐標系，測得線段CD的方程是x+2y=20（0≤x≤20），曲線段EF的方程是xy=200（5≤x≤40），設點M的坐標為（s，t），記z=s•t．（題中所涉及的長度單位均為米，棧橋和防波堤都不計寬度
（1）求z的取值范圍；
（2）試寫出三角形觀光平臺MGK面積S△MGK關于z的函數解析式，并求出該面積的最小值．

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如圖1，OA，OB是某地一個湖泊的兩條互相垂直的湖堤，線段CD和曲線段EF分別是湖泊中的一座棧橋和一條防波堤．為觀光旅游的需要，擬過棧橋CD上某點M分別修建與OA，OB平行的棧橋MG、MK，且以MG、MK為邊建一個跨越水面的三角形觀光平臺MGK．建立如圖2所示的直角坐標系，測得線段CD的方程是x+2y=20（0≤x≤20），曲線段EF的方程是xy=200（5≤x≤40），設點M的坐標為（s，t），記z=s•t．（題中所涉及的長度單位均為米，棧橋和防波堤都不計寬度
（1）求z的取值范圍；
（2）試寫出三角形觀光平臺MGK面積S△MGK關于z的函數解析式，并求出該面積的最小值．

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科目：高中數學 來源：《三角函數》2013年高三一輪復習單元訓練（北京師范大學附中）（解析版） 題型：解答題

如圖1，OA，OB是某地一個湖泊的兩條互相垂直的湖堤，線段CD和曲線段EF分別是湖泊中的一座棧橋和一條防波堤．為觀光旅游的需要，擬過棧橋CD上某點M分別修建與OA，OB平行的棧橋MG、MK，且以MG、MK為邊建一個跨越水面的三角形觀光平臺MGK．建立如圖2所示的直角坐標系，測得線段CD的方程是x+2y=20（0≤x≤20），曲線段EF的方程是xy=200（5≤x≤40），設點M的坐標為（s，t），記z=s•t．（題中所涉及的長度單位均為米，棧橋和防波堤都不計寬度
（1）求z的取值范圍；
（2）試寫出三角形觀光平臺MGK面積S△MGK關于z的函數解析式，并求出該面積的最小值．

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科目：高中數學 來源：2011年上海市徐匯區(qū)、金山區(qū)高考數學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖1，OA，OB是某地一個湖泊的兩條互相垂直的湖堤，線段CD和曲線段EF分別是湖泊中的一座棧橋和一條防波堤．為觀光旅游的需要，擬過棧橋CD上某點M分別修建與OA，OB平行的棧橋MG、MK，且以MG、MK為邊建一個跨越水面的三角形觀光平臺MGK．建立如圖2所示的直角坐標系，測得線段CD的方程是x+2y=20（0≤x≤20），曲線段EF的方程是xy=200（5≤x≤40），設點M的坐標為（s，t），記z=s•t．（題中所涉及的長度單位均為米，棧橋和防波堤都不計寬度
（1）求z的取值范圍；
（2）試寫出三角形觀光平臺MGK面積S△MGK關于z的函數解析式，并求出該面積的最小值．

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