Question

已知拋物線

（1）若求該拋物線與軸公共點的坐標(biāo)；

（2）若且當(dāng)時，拋物線與軸有且只有一個公共點，求c的取值范圍；

（3）若且時，時，試判斷當(dāng)時，拋物線與軸是否有公共點？若有，請證明你的結(jié)論；若沒有，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）和 （2）當(dāng) 或 時，拋物線在時與軸有且只有一個公共點. (3)當(dāng)時，拋物線與軸有兩個公共點.

【解析】本題考查了求二次函數(shù)的解析式等相關(guān)的知識，同時還滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道不錯的二次函數(shù)綜合題．

（1）將a、b、c的值代入拋物線后求得解析式，令y=0求出x的值就是交點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)；

（2）根據(jù)其在此范圍內(nèi)有一個交點，此時將兩個值代入，分別大于零和小于零，進(jìn)而求出相應(yīng)的取值范圍．

（3）因為由題意可得，當(dāng)時，即當(dāng)時，

結(jié)合可得，

因為   ，所以  分析得到a,b的符號，然后結(jié)合判別式判定交點問題。

解：（1）當(dāng)拋物線為

令解得，

所以，拋物線與軸的公共點的坐標(biāo)為和  ……2分

（2）當(dāng)時，拋物線為.

令，解之，得.

①若拋物線與軸只有一個公共點，由題意，

可得解之，得

②若拋物線與軸有兩個公共點，由題意，可得

或

所以，或故.

綜上所述，當(dāng) 或 時，

拋物線在時與軸有且只有一個公共點.                  ……..8分

(3)由題意可得，當(dāng)時，即當(dāng)時，

結(jié)合可得，

因為   ，所以 

又     ，    所以              ……10分

令  即  所以，此方程的判別式為 

因為   所以  所以 

因為  所以  故 

所以 拋物線與軸有且只有兩個不同的交點.                  ……….13分

因為，所以拋物線的頂點的縱坐標(biāo)小于零。

因為    所以 

因為  拋物線的對稱軸為所以

又當(dāng)時，時，所以當(dāng)時，

拋物線與軸有兩個公共點.                          ……16分