Question

已知拋物線

（1）若求該拋物線與軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若且當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求c的取值范圍；

（3）若且時(shí)，時(shí)，試判斷當(dāng)時(shí)，拋物線與軸是否有公共點(diǎn)？若有，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若沒(méi)有，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）和 （2）當(dāng) 或 時(shí)，拋物線在時(shí)與軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn). (3)當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有兩個(gè)公共點(diǎn).

【解析】本題考查了求二次函數(shù)的解析式等相關(guān)的知識(shí)，同時(shí)還滲透了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，是一道不錯(cuò)的二次函數(shù)綜合題．

（1）將a、b、c的值代入拋物線后求得解析式，令y=0求出x的值就是交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)；

（2）根據(jù)其在此范圍內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)將兩個(gè)值代入，分別大于零和小于零，進(jìn)而求出相應(yīng)的取值范圍．

（3）因?yàn)橛深}意可得，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，

結(jié)合可得，

因?yàn)?nbsp;  ，所以  分析得到a,b的符號(hào)，然后結(jié)合判別式判定交點(diǎn)問(wèn)題。

解：（1）當(dāng)拋物線為

令解得，

所以，拋物線與軸的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為和  ……2分

（2）當(dāng)時(shí)，拋物線為.

令，解之，得.

①若拋物線與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，由題意，

可得解之，得

②若拋物線與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，由題意，可得

或

所以，或故.

綜上所述，當(dāng) 或 時(shí)，

拋物線在時(shí)與軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn).                  ……..8分

(3)由題意可得，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，

結(jié)合可得，

因?yàn)?nbsp;  ，所以 

又     ，    所以              ……10分

令  即  所以，此方程的判別式為 

因?yàn)?nbsp;  所以  所以 

因?yàn)?nbsp; 所以  故 

所以 拋物線與軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn).                  ……….13分

因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111915360839459489/SYS201211191537092226870753_DA.files/image042.png">所以拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于零。

因?yàn)?nbsp;   所以 

因?yàn)?nbsp; 拋物線的對(duì)稱軸為所以

又當(dāng)時(shí)，時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，

拋物線與軸有兩個(gè)公共點(diǎn).                          ……16分