Question

4．若拋物線y=2px²（p＞0）的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線y²-x²=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=$\frac{{\sqrt{2}}}{16}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)于拋物線y=2px²，先將其方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程x²=$\frac{1}{2p}$y，用p表示其準(zhǔn)線方程，結(jié)合題意可得-$\frac{1}{8p}$=-$\sqrt{2}$，解可得p的值，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為：y²-x²=1，
則其焦點(diǎn)在y軸上，且c=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±$\sqrt{2}$），
拋物線y=2px²的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²=$\frac{1}{2p}$y，
若p＞0，則其焦點(diǎn)在y軸正半軸上，
則其準(zhǔn)線方程為y=-$\frac{1}{8p}$，
又由拋物線y=2px²（p＞0）的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線y²-x²=1的一個(gè)焦點(diǎn)，
則有-$\frac{1}{8p}$=-$\sqrt{2}$，解可得p=$\frac{{\sqrt{2}}}{16}$；
故答案為：$\frac{{\sqrt{2}}}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線、雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)．