Question

已知：四棱錐P-ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，PA⊥平面ABCD，且
PA=2，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求二面角F-AE-C的大�。�

Answer 1

分析：（1）求四棱錐P-ABCD的體積，需要求出棱錐的高與底面的面積，由題設(shè)條件知，PA⊥平面ABCD，高為PA，已知，又底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ABC=60°，底面面積易求，由公式求體積即可；
（2）求二面角F-AE-C的大小可先作出二面角的平面角，再在其所在的三角形中求出二面角的大小，由題設(shè)條件及圖形，根據(jù)二面角的平面角的定義作出二面角的平面角．

解答：解：（1）由題設(shè)條件知，棱錐的高為PA=2，
由底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ABC=60°，可解得底面四邊形ABCD的面積是2×2×sin60°=2

3

故VP-ABCD=

4 3

3

（4分）
（2）取AC的中點(diǎn)O，連接FO，
∵F為PC中點(diǎn)，
∴FO∥PA且FO=

1

2

PA，又PA⊥平面ABCD，
∴FO⊥平面ABCD．（6分）
過(guò)O作OG⊥AE于G，則∠FGO就是二面角F-AE-C的平面角．（8分）
由作圖及題意可得FO=1，GO=

1

2

，
得tan∠FGO=

FO

OG

=2，即二面角的大小為arctan2（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的平面角及求法，解題的關(guān)鍵是作出二面角的平面角，然后在所作出的直角三角形中求出二面角平面角的值，解此類題時(shí)要注意步驟，作角，證角，求角三步不可少．