Question

設(shè)集合A={x|x2+(1-

2

2

)x-

2

2

≤0}，B={x|x2-(1-

2

2

)x-

2

2

≤0}，又設(shè)函數(shù)f（x）=2x²+mx-1．
（1）若不等式f（x）≤0的解集為C，且C⊆（A∪B），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）若對(duì)任意x∈R，有f（1-x）=f（1+x）成立，試求當(dāng)x∈（A∩B）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域．
（3）當(dāng)m∈（A∪B），x∈（A∩B）時(shí)，求證：|f(x)|≤

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．

Answer 1

分析：（1）先分別化簡(jiǎn)集合A，B，可求A∪B=[-1，1]，要使C⊆（A∪B），則

f(-1)≥0 f(1)≥0

，故得解；
（2）先求得）A∩B=[-

2

2

，

2

2

]，由于對(duì)任意x∈R，有f（1-x）=f（1+x）成立，可知函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，從而可確定函數(shù)f（x）=2x²-4x-1=2（x-1）²-3．，進(jìn)而可求函數(shù)f（x）的值域．
（3）m∈[-1，1]，x∈[-

2

2

，

2

2

]，從而f（x）的最小值為-1，最大值在端點(diǎn)處取得，故可證．

解答：解：（1）由題意，A=[-1，

2

2

]，B=[-

2

2

，1]
∴A∪B=[-1，1]
要使C⊆（A∪B），則

f(-1)≥0 f(1)≥0

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥-1．
（2）A∩B=[-

2

2

，

2

2

]
∵對(duì)任意x∈R，有f（1-x）=f（1+x）成立，
∴函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1
∴m=-4
∴f（x）=2x²-4x-1=2（x-1）²-3．
∵x∈（A∩B），
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)?span id="3hfde3x" class="MathJye">[-2

2

 ，2

2

]．
（3）m∈[-1，1]，x∈[-

2

2

，

2

2

]
∴f（x）的最小值為-1，最大值在端點(diǎn)處取得
∵f(-

2

2

)=-

2

2

m
，f(

2

2

)=

2

2

m
∴|f(x)|≤

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8

點(diǎn)評(píng)：本題以集合為載體，考查函數(shù)值域，考查函數(shù)的最值，關(guān)鍵是集合的化簡(jiǎn)．