Question

x²+y²+2ax+a⁴-4=0和x²+y²-4by-1+4b²=0恰有三條公切線，若a∈R，b∈R，且ab≠0，則

1

a2

+

1

b2

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：先將圓的方程配方得出圓心坐標(biāo)與半徑，根據(jù)x²+y²+2ax+a⁴-4=0和x²+y²-4by-1+4b²=0恰有三條公切線，得出兩圓外切，圓心距等于兩半徑之和，得出a，b的關(guān)系式；a²+4b²=25，再利用基本不等式即可求得

1

a2

+

1

b2

的最小值．

解答：解：∵x²+y²+2ax+a²-4=0和x²+y²-4by-1+4b²=0恰有三條公切線，
∴兩圓外切，
∴圓心距等于兩半徑之和，即得：a²+4b²=9，
∴

1

a2

+

1

b2

=(

1

a2

+

1

b2

)

a2+4b2

9

=

1

9

（5+

4b2

a 2

+

a2

b 2

）≥

1

9

（5+4）=1
當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)取等號(hào)，
則

1

a2

+

1

b2

的最小值為1
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用．要把握住基本不等式中的“一正”，“二定”，“三相等”的特點(diǎn)．