Question

已知冪函數(shù)f（x）=xp2-2p-3（P為整數(shù)）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且在（0，+∞）上函數(shù)單調(diào)遞減，解不等式f（x-3）＜f（1+2x）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)及在（0，+∞）上單調(diào)遞減，可求出f（x）=x^-3，這時(shí)候討論x-3，1+2x的分布情況，即在（-∞，0），或（0，+∞）上，根據(jù)f（x）的單調(diào)性及f（x）的符號(hào)從而解出原不等式．

解答： 解：∵f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴p²-2p-3＜0；
解得-1＜p＜3，若p=0，f（x）=x^-3，符合f（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
若p=1，f（x）=x^-4，不符合f（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
若p=2，f（x）=x^-3，符合f（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
綜上得：f（x）=x^-3，并且得到f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減；
①若

x-3＜0 1+2x＜0

，即x＜-

1

2

，根據(jù)f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，由原不等式得，x-3＞1+2x，解得x＜-4；
②若

x-3＜0 1+2x＞0

，即-

1

2

＜x＜3，f（x-3）＜0，f（1+2x）＞0，滿足不等式f（x-3）＜f（1+2x）；
③若

x-3＞0 1+2x＞0

，即x＞3，根據(jù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則由原不等式得x-3＞1+2x，解得x＜-4，不滿足x＞3，所以這種情況不存在；
綜上得原不等式的解集為：（-∞，-4）∪(-

1

2

，3)．

點(diǎn)評(píng)：考查冪函數(shù)的單調(diào)性，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，以及根據(jù)單調(diào)性的定義解不等式．