Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2．
（1）求PC與平面PBD所成的角；
（2）在線段PB上是否存在一點(diǎn)E，使得PC⊥平面ADE？并說明理由．

Answer 1

分析：要求PC與平面PBD所成的角，直線找出已知平面PBD的垂線，設(shè)AC∩BD=O，由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥CO，容易證明CO⊥BD
CO⊥平面PBD，∠CPO是直線PC與平面PBD所成的角在Rt△POC中，由sin∠CPO=

CO

CP

可求
（2）由于存在性問題的特點(diǎn)，考慮利用空間向量法，先建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D_xyz，設(shè)線段PB上存在一點(diǎn)E，使得PC⊥平面ADE、，則由向量的共線定理可得，存在實(shí)數(shù)λ，使得

PE

=λ

PB

（0≤λ≤1），則

DE

=

DP

+ 

PE

．然后由AD⊥平面PCD，可得PC⊥AD，要使PC⊥平面ADE，只需

PC

⊥

DE

，即

PC

•

DE

=0，從而可求λ，進(jìn)而判斷是否存在

解答：解：連接AC，設(shè)AC∩BD=O，連接PO
∵PD⊥平面ABCD，CO?平面ABCD∴PD⊥CO
由ABCD為正方形，知CO⊥BD
∵PD∩BD=D∴CO⊥平面PBD
∴∠CPO是直線PC與平面PBD所成的角
在Rt△POC中，sin∠CPO=

CO

CP

=

2

2 2

=

1

2

∴∠CPO=

π

6

∴直線PC與平面PBD所成的角為

π

6

（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D_xyz，設(shè)線段PB上存在一點(diǎn)E，使得PC⊥平面ADE
則存在實(shí)數(shù)λ，使得

PE

=λ

PB

（0≤λ≤1）
∵P（0，0，2），B（2，2，0）∴

PB

=(2，2，-2)  
∴

DE

=

DP

+ 

PE

=

DP

+λ

PB

=(0，0，2)+(2λ，2λ，-2λ)=（2λ，2λ，2-2λ）
由題意顯然有AD⊥平面PCD∴PC⊥AD     要使PC⊥平面ADE，只需

PC

⊥

DE

即

PC

•

DE

=0∴0×2λ+2×2λ-2（2-2λ）=0
∴λ=

1

2

∈[0，1]
故在線段上存在一點(diǎn)E（E為線段的中點(diǎn)）使得PC⊥平面ADE

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面所成的角的求解，這是立體幾何中最基本的試題類型，而在立體幾何圖形中，存在性問題的求解一般采用向量法求解比較容易．