Question

關(guān)于函數(shù)f(x)=

(x-3)e-x，x≥0 2ax-3，x＜0

（a為常數(shù)，且a＞0），對(duì)于下列命題：
①函數(shù)f（x）在每一點(diǎn)處都連續(xù)；
②若a=2，則函數(shù)f（x）在x=0處可導(dǎo)；
③函數(shù)f（x）在R上存在反函數(shù)；
④函數(shù)f（x）有最大值

1

e4

；
⑤對(duì)任意的實(shí)數(shù)x₁＞x₂≥0，恒有f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

；
其中正確命題的序號(hào)是______．

Answer 1

①x=0時(shí)，（0-3）e⁰=-3，x=0時(shí)，2ax-3有意義，且2ax-3=-3，
∴函數(shù)f（x）在x=0處都連續(xù)，即函數(shù)f（x）在每一點(diǎn)處都連續(xù)；
∴①正確
②f′（x）=

e-x(4-x)  x≥0 2a         x＜0

（a＞0），
x=0時(shí)，e⁰（4-0）=4，令2a=4得a=2，
∴a=2，函數(shù)f（x）在x=0處可導(dǎo)；
∴②正確
③令f′（x）＞0，得x＜4，令f′（x）＜0，得x＞4，
∴f（x）在（-∞，4]上是增函數(shù)，在[4，+∞）上是減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在R上不存在反函數(shù)；
∴③錯(cuò)誤
④令f′（x）=0，得x=4，x＜4時(shí)，f′（x）＞0，x＞4時(shí)，f′（x）＜0，
∴x=4時(shí)，f（x）有最大值為f（4）=e^-4=

1

e4

；
∴④正確
⑤在函數(shù)f（x）[0，+∞）上任取兩點(diǎn)（x₁，f（x₁））（x₂，f（x₂））
∵f（x）的圖象在[0，+∞）上是上凸的，所以兩點(diǎn)連線應(yīng)在圖象的下方，
∴f（

x1+x2

2

）＞

f(x1) +f(x2)

2

∴⑤錯(cuò)誤．
故答案為①②④